Variation des suites géométriques

Propriété  

Soit  $q$  un réel non nul différent de  $\text{1}$ , $v_0$  un réel et  $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite géométrique de premier terme $v_0$ et raison  $q$ .

• 1^er cas :  $v_0>0$                                               
  Si \(0 alors la suite  $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est décroissante.    
  Si  $q>1$  alors la suite  $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est croissante. 
  
• ${\mathbf{\text{2}}}^{\text{e}}$ cas : $v_0<0$             
  Si \(0 alors la suite  $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est croissante.    
  Si  $q>1$  alors la suite  $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est décroissante. 
  
• Quel que soit  $v_0$ , si $q<0$  alors la suite   $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ n'est ni croissante ni décroissante.
  

Remarque  

• Si  $q=0$ , $v_n=0$ pour tout $n\ge 1$ .
  
• Si $q=1$ $(v_n)$ est constante.
  

Démonstration 

Soit  $q$  un réel non nul différent de  $\text{1}$ , $v_0$  un réel et  $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite géométrique de raison  $q$ .
On étudie le signe de la différence  $v_{n+1}-v_n$ .
Or, pour tout  $n$  entier naturel, 
$v_{n+1}-v_n=q\times v_n-v_n=(q-1)\times v_n=(q-1)q^n\times v_0$ .

• 1^er cas :  $v_0>0$    
  Si \(0 alors  $q-1<0$  et  $q^n>0$  donc  $v_{n+1}-v_n<0$ . La suite  $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est donc décroissante.    
  Si  $q>1$  alors  $q-1>0$  et  $q^n>0$  donc  $v_{n+1}-v_n>0$ . La suite  $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est donc croissante. 
  
• ${\mathbf{\text{2}}}^{\text{e}}$  cas : $v_0<0$    
  Si \(0 alors  $q-1<0$  et  $q^n>0$  donc  $v_{n+1}-v_n>0$ . La suite  $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est donc croissante. 
  Si  $q>1$  alors  $q-1>0$  et  $q^n>0$  donc  $v_{n+1}-v_n<0$ . La suite  $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est donc décroissante. 
  
• Quel que soit  $v_0$ , si $q<0$  alors  $q^n$  change de signe selon la parité de  $n$ , il en est de même pour $v_n$ . La suite   $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ n'est ni croissante ni décroissante.